别人的26岁：只用业余时间，就解决了数学界几十年的难题

26岁的Jared Duker Lichtman证明了一个长期存在的假设,即素数与原始集合有关。

素数(英语:Prime number),又称质数,定义为1 greater than 1的自然数,除1 itself之外,任何其他自然数都不能纠正。 从另一个角度来看,所有1 greater than 1的非素数都是由素数的乘法生成的,所以素数常被称为数学原子。

作为数学和数理理论的核心,元素在轴上总是占有特殊的位置.今年， 26-岁的牛津大学博士生贾雷德·杜克·利赫曼(Jared Duker Lichtman)解决了一个著名的猜想。这个研究表明为什么素数如此特别,即使素数也是“理想数”的意思。

这个假设涉及原始集合。这是一个比1大整数的集合。在这类集合中，任何单个数字都不能用任何其他数字来纠正.因为素数只能是1或自调整的,显然，所有素数的集合是原始集合。由此继续推广，所有包含相同数量的质量因素的数字也可以构成原始集合。例如,一个由所有100个质量因素组成的集合。

上世纪30年代，保罗·埃德什试图证明一个完美的数目。说到古希腊的问题,作为一种工具,介绍了原型套件的概念。但它很快就成为数学家感兴趣的对象,直到他后来的学术生涯,使用和研究原始收藏一次又一次.这是因为，尽管原始集合的定义十分明确,却有着神秘的特征，这使得它成为数学领域中的未知的动物.本原集可以有多大？这么简单的问题,仍无法被解答，由此可见原始收藏的奇异性。

如果你考虑一个从1到100的整数的集合,那么它的一半，从501到100,就在那时,它形成了一个无法调和的自制的集合。这样获得的原始收藏品,它将集中于若干轴。但其他类的本原集，比如素数集，它在数字轴上分布非常稀疏。“这意味着,原始收藏的确是一个非常广泛的范畴,很难直接获得研究,”列支敦士登说。

贾雷德·迪克·里切特曼(照片由王鲁义)

埃尔德什和

为了探索这个原始收藏的有趣的特征,数学家对原始集合大小的概念进行了大量的研究。例如，他们可能无法直接计算一组数字的数目,相反,研究了一个不同的角度:对于集合中的每个 n 个数,用表达式1/(n·logn)替换它,然后把所有的结果加在一起。这个增加的总数称为“Erdős sum”。以原始集合{2,3,55}为例,这个集合的大小可以用Erdes表示为1/(2*log2)+1/(3*log3)+1/(55*log55)。

埃尔德什发现，对于任何原始集,包括那些由无穷数组成的集合,它是大地,永远是有限的。不管这套原型是什么,它的最长和总是比一个特定数值小。因此,尽管这种一般表达似乎含糊而奇怪,但在某种程度上，它引发了最初的研究, 它被搞糊涂了,成为一个有效的“测量”。

在这个尺度下,人们自然 wonder what the elder's and the maximum might be. Elder's guess is that the upper limit would come from one of the prime numbers originally concentrated, about 1.64.In other words, from the perspective of the original set, the prime number itself constitutes a limit.

几十年来，数学家在相关证明方面取得了一些进展.例如，他们证明,对于特定类型的原始集,该猜想成立。然而，“在贾雷德开始攻击这个问题之前,加拿大哥伦比亚大学的数学家格雷格·马丁(Greg Martin)说:“我们似乎没有真正触及了素数猜想的性质。他一直在做相关研究。与匈牙利埃特文斯洛兰德大学密切合作的数学家,安德鲁斯·萨尔格里(Andreas Sárközy)同意:“这个假设的证据似乎很遥远。

不严格的新上限

2018年，在达特茅斯学院的最后一年本科学习,列支敦士登开始对原系列进行研究。”“这个问题立刻引起了我的注意。这种猜想怎么能真 呢?这真是非常神秘。”他说道，“在过去的四年里，这个问题一直伴随我。

2019年，理查德曼和达特茅斯学院的导师卡尔·波梅兰斯发现,原系列的伯爵,可能不超过1.78。根据卡尔·帕默恩斯的学生说,乌特勒支大学的数学家罗拉·汤普森(Lola Thompson)说:“卡尔基本上退休了,回到了列支敦士登工作。格雷格·马丁(Greg Martin)对结果表示:“差异并不大,它比素数大10%左右。

为了推导这个常数,列支敦士登和帕尔梅斯建立了新的二进制数组。新的数组由多个数组组成,每个数组与指定的原始浓度关联。还是以原始集合{2,3,55}为例,数2与所有2的乘数有关,也就是说,一个由所有偶数组成的数组;与3有关的数组是所有3的乘数,但是你必须摆脱所有2的双重数;数字55(5×11)与所有55的双重数有关,其乘数的最小质量因子为11(因为最大质量因子为55是11),也就是说，所有可以设置为2,3,5,7的数字不能乘以55(例如5倍55或15倍55不需要,然而,需要的数量是55倍。列支敦士登将这一方法与词典中的词汇索引比较。它是取代字母的素数。

他和帕默兰斯接下来的问题是,相应的多个阵列的“密度”是多少?那么它们在轴上占有多少位?（例如，偶数阵列的密度是1/2,因为它占所有自然数的一半。）他们发现，如果原始数组是原始数组,因此,没有对应它的每个数字的多个列之间的交界,因此,这些多个阵列的组合的总密度只有1以下 — — 轴上的所有自然数的密度是1。

这一发现似乎远远没有达到目的,事实上,它与他们想要证明的假设密切相关。19世纪的数学家弗朗茨·默滕斯提出了一个定理,让列支敦士登和帕梅伦斯使用这些密度表示来重新解释埃尔德斯和的原始集合。基于梅滕斯定理，一个特殊常数(接近1.78),当乘以一个项目等于多个阵列的总密度时,可以得到Eldsch和原集的最大值。这个总密度不能超过1,列支敦士登和帕尔梅斯证明,原版的《爱德斯》和最大值不超过1.78。

牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德(James Maynard)说:“这项工作实际上是埃德斯的原始思想的变体,它推导了一个非常简单的、平滑的过程,尽管没有严格的限制。

非自愿“自愿工作”

多年来,这似乎是数学家所能取得的最好结果,但如何将代数限额降低到1.64仍然未知。 与此同时,理查德曼从本科毕业,并前往牛津大学与梅纳德教授取得博士学位,重点放在与素数有关的问题上。

梅纳德说:“我知道他在做学校作业时没有放弃思考这个问题,但当他突然,令人惊讶地,给出了一份完整的证明时,我感到震惊。

图片来源:解散

列支敦士登最初意识到,他早期的帕默朗斯的论点仍然适用于包含较小因素的数组:在这种情况下,常数1.78可以直接降到1.64以下。

但对于那些具有较大数量的因素(事实上,在某种程度上相当于数量),则需要另外考虑。为了解决这个数字的部分,利希特曼发现，对每个数，你不仅可以关联多个阵列,而可以关联多个。与之前一样，所有列的总密度不会超过1。但这种情况下，此外,多条柱子会像野草一样扩散,在轴上占有其他一些空间.

例如,618(2×3×103),按照之前的定义，你需要将618的最小素因子乘103来编译一个序列。但利希特曼发现，它也可以用于使用一些被排除的微量因素来构造列。比如，除了选择最低质量因子103作为乘数,也可以将所有最小质量因素添加到数字5作为乘数。(选择性可用的较小质量因素的条件有限)

这些额外的多重阵列的存在意味着原始多重阵列的复合密度乘以梅滕定理的常数不是无限接近1,而是必须小于1。

接下来,他仔细地确定了“最糟糕的情况”:当包含较大和较小的因素的数字结合起来时,原始数组的整体密度是多少? 最后,列支敦士登能够证明在最坏情况下,埃德斯的值仍然低于1.64。

“这是数学中的关键时刻,”梅纳德说:“我不知道我是否幸运,但列支敦士登提出的数字正好符合我的猜想。”

今年二月，列支敦士登在ArXiv预版网站上发表了完整的证明程序。有数学家指出，这项工作极其优秀，因为这完全依赖于基本证据。汤普森说:“他并不依赖超级计算机的发展来证明他的猜想。他的思维过程非常聪明。

今天,这个作品也巩固了原始集中的素数的特殊地位。 “每个人都认为素数是特别的,”帕默朗斯说。

作者 | Jordana Cepelewicz

https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/#

参考论文：

https://arxiv.org/abs/2202.02384

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资料来源: 环球科学, 编辑: 吉林

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